• Балахнёв Максим Юрьевич
  • 2008
  • 9

Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка автореферат диссертации для написания диплома, курсовой работы, тема для доклада и реферата

Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка - темы дипломов, курсовиков, рефератов и докладов Ознакомиться с текстом работы
Специальность ВАК РФ: 01.01.02 — Дифференциальные уравнения
  • Реферун рекомендует следующие темы дипломов:
  • Другие интегрируемые случаи
  • Односторонние системы общего вида
  • Реферун советует написать курсовую работу на тему:
  • Редуцирование матричных уравнений
  • Линейные уравнения второго порядка
  • Реферун советует написать реферат на тему:
  • Групповое расслоение уравнений Ламе
  • Законы сохранения и групповые свойства уравнений гидродинамики и уравнений газовой динамики
  • Реферун предлагает написать доклад на тему:
  • Групповые свойства осесимметричных движений идеальной жидкости
  • Оптимальные системы подалгебр второго порядка
Поделиться с друзьями:

Выдержки из автореферата диссертации Балахнёв Максим Юрьевич, 2008, 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Актуальность темы. Классификация точно интегрируемых нелинейных дифференциальных эволюционных уравнений и систем, а также изучение различных их свойств, входит в число приоритетных направлений научных исследований РАН1 н является широко известной тематикой в исследованиях большого числа современных математиков и физиков как в нашей стране, так и за рубежом. Интерес к этому направлению объясняется тем, чго интегрируемые нелинейные эволюционные уравнения и системы имеют важные приложения в математике и физике. Изучение нелинейных точно интегрируемых моделей позволило обнаружить новые физические явления в самых разных областях: волны в различных средах, волны па поверхности жидкости, различные явления в полупроводниках, в твердых телах, в световодах, в плазме, в квантовой физике. Этим объясняется то, что открытие каждого нового точно интегрируемого нелинейного уравнения признается многими математиками и физиками важным научным достижением.

В диссертации проводится классификация интегрируемых дифференциальных эволюционных векторных уравнений с двумя независимыми переменными

ди д3и д2и ди

где u(x,t) - неизвестный вектор, принадлежащий некоторому jV-мер-ному векторному пространству V, а функции ft зависят только от скалярных произведений

"М = (и» Ч?)> йм = (и>> uj)' о ^ г ^ J ^ 2, (2)

где Uk = дки/дхк, а (•,•) и (•,•) - различные скалярные произведения о V. При этом мы используем только самые общие свойства скалярного произведения - билинейность, симметричность и непрерывность, то есть для нас несущественна реализация метрик в V. Конечномерность нли вещественность пространства V также пе важны.

Актуальность диссертационной темы подтверждается тем, что исследование выполнено по тематике, которая признается актуальной и важной не только Российской академией наук, но и математиками всего мира. Многие российские и международные журналы (например Теоретическая и математическая физика, Функциональный анализ, Известия РАН, Математические заметки, Communications in Mathematical

'План фундаментальных исследований Российской академии наук на период до 2025 года. Стр. 14, раздел 1.2, пункт 1.2.1. М.: Наука, 2003.

Physics, Inverse Problems, Journal of Mathematical Physics u др.) регулярно публикуют статьи, посвященные проблеме точной интегрируемости. Существуют даже журналы, публикующие статьи преимущественно по указанной тематике (Journal of Nonlinear Mathematical Physics, Symmetry, Intcgrability and Geometry: Methods and Applications).

Цель и задачи работы. Диссертация продолжает серию исследовании, посвященных симметрийной классификации!! интегрируемых уравнений и систем. Общей целью является получение списка интегрируемых эволюционных векторных уравнений вида (1). Перечень решаемых в диссертации задач выглядит следующим образом:

1) классификация интегрируемых уравнений (1) при различных ограничениях па коэффициенты /г;

2) доказательство интегрируемости каждого уравнения: построение авто-преобразования Беклуида для пего или поиск дифференциальной подстановки связывающей его с известным интегрируемым уравнением;

3) исследование возможности построения решений.

Методика исследования. Необходимые условия интегрируемости для эволюционных систем общего вида были сформулировпы Н.Х. Ибрагимовым и А.Б. Шабатом (1980). Позднее В.В. Соколовым и А.Г. Мешковым (2002) была предложена модификация еимметрийного подхода для векторных уравнений. В частности, для уравнений вида (1) необходимые условия интегрируемости имеют вид законов сохранения

Здесь рп, 9п функции переменных гц,^, 0 < г < ] < п, Д. оператор полной производной по х, А оператор эволюционного дифференцирования. Главной идеей для построении бесконечной серии законов сохранения является переход от (—Д + А! + /г^ + /1А + /о)и = 0 к скалярному уравнению (—А + А^ + /2^ + /1А + /о)~Ф = 0 и рассмотрению его как временного уравнения Лакса для (1). Положив в последнем

где R и F связаны уравнением неразрывности DtR — DXF. Если искать решение уравнения (4) в виде ВКБ-разложений

Dtp„ = АД

п = 0,1,2,...

мы получаем уравнение типа Рпккатн

(Dx + R)2R + /2( А + R)R + f,R + /о = F,

то уравнения (4) и (5) приводит к следующей реккуреишой формуле:

рп+2 = з

0„ - /о 5„,0 - 2 /2 рп+1 - /2 Д,.р„ - Л Рп

/2 ^ Ря Рп-^,- + Р4- № Рн-8-)с + 3 Р* Рп-8+1

(Кв+Кп «=0

Рп+1 + ^

Здесь <5М символ Кронекера, ро и Р1 определены формулами: Ро = — ~ /2, Р1 = д /! _ д Л + д Ас /г-

Теперь, используя (5), мы получаем из уравнения Дй = ОхР бесконечную серию законов сохранения Др„ = ДА,, п = 0,1,2,----

Реккурептпая формула позволяет находить функции вп из Др„ = Пхвп, поскольку в выражение для рп входят б1,, г ^ п — 2, но пе входит 0„. Например, р2 = 4 /о +1- £ + § /1 /2 - А /| +1 А, /2 ~ ± /1), и так далее.

Условия Дрп = А#п позволяют найти явный вид функций /,, так как рп определяются через коэффициенты /г уравнения (1). Другими словами, условия Др„ = Д;0П являются уравнениями для определении /,. В частности, четные канонические плотности тривиальны, то есть р2п = ДгЛл; п = О)!)---) что влечет, согласно (6), /2 6 ГтДс (1т—образ). Таким образом, не теряя общности можно считать /2 = 3/2 Д:(1п/), где / = 0 < г ^ ; ^ 1.

В качестве доказательства интегрируемости полученных в результате классификации уравнений мы построили авто-преобразовании Бек-лундадля них. Авто-преобразованием Беклупдадля уравнения (1) называют выражение вида их = В (и, V, где Л - параметр, а и и и различные решения этого уравнения. Используя авто-преобразования Беклунда мы нашли, например, периодические решения, одно-, двух-, и трехсолптоиное решения векторного обобщения уравнения Лапдау-Лифшнца.

Научная новизна подтверждается тем, что основные результаты опубликованы в журналах РАН, а также известных зарубежных журналах.

Результатом классификации являются новые интегрируемые уравнения вида (1). Изучены преобразования типа Миуры для векторных уравнений, что позволило систематизировать полученные списки.

Предложена модификация известного метода построения решений основанного на предположении коммутативности диаграммы Бианки. Показано, для построения формулы нелинейной суперпозиции решений векторного уравнения необходимо использовать квазнлокальиые переменные. Найдены периодические и солитонпыс решения векторного обобщения уравнения Лапдау-Лифшица.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах и докладывались па международной конференции "Симметрия в нелинейной математической физике"(Киев, 2005), на семинарах кафедры высшей математики Орловского государственного технического университета, кафедры информатики Орловского государственного университета, а также в центре MuPad (университет Падерборн, Германия, руководитель - профессор Б. Фуксштайнер).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения п списка используемых источников. Общий объем диссертации 127 страниц.

Список публикаций:

1. Балахнёв, М.Ю. Об одном классе интегрируемых эволюционных векторных уравнений / М.Ю. Балахнёв // ТМФ. - 2005. - Т.142. -Х°-2. - С. 13-20.

2. Балахнёв, М.Ю. Формулы суперпозиции для векторных обобщений уравнения мКдФ / М.Ю. Балахнёв // Матем. замегки. - 2007.

- Т.82. - .V«4. - С. 501-503.

3. Балахнёв, М.Ю. Формулы суперпозиции для интегрируемых векторных эволюционных уравнений / М.Ю. Балахнёв // ТМФ. - 2008.

- Т. 151. - У-2. - С. 261-267.

4. Balakhnev, M. Ju. The vector generalization of the Landau-Lifshitz equation: Bácklund transformation and solutions / M.Ju. Balakhnev /'/' Appl. Math. Lett. - 2005. - V.18. - .V12. - P. 1363-1372.

5. Meshkov, A.G. Integrable Anisotropic Evolution Equations on a Sphere ,/ A.G. Meshkov, M.Ju. Balakhnev // SIGMA. - 2005. - V.l. Paper 027.

6. Balakhnev, M.Ju. Superposition formulas for integrable vector evolutionary equations on a Sphere / M.Ju. Balakhnev // JNMP. - 2008.

- У.15.-ЛП.-P. 104-116.

7. Meshkov, A.G. On a classification of integrable vectorial evolutionary equations / A.G. Meshkov, M.Ju. Balakhnev // JNMP. - 2008.

- V.15. - >2. - P. 212-226.

Балахнёв Максим Юрьевич

Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка

Поделиться с друзьями: