Размножение нелинейных интегрируемых уравнений теоретической физики автореферат диссертации для написания диплома, курсовой работы, тема для доклада и реферата

Выдержки из автореферата диссертации Зыков Сергей Арленович, 2004, 01.04.02 — Теоретическая физика

Актуальность работы. Практически всякая модель теоретической физики представляет результат некоторого приближенного описания реальных физических явлений. Цель приближений заключается в изучении основных взаимодействий, определяющих главный вклад в физику процесса, в выяснении основополагающих связей между явлениями.

В то же время, ограничения на модель накладываются, как правило, такие, чтобы для нее можно было найти решения в явном виде или достаточно полно их исследовать.

Интегрируемые нелинейные уравнения теоретической физики не являются в этом смысле исключением. Они учитывают не только линейную дисперсию системы, но и основной вклад нелинейного взаимодействия. У самых различных процессов нелинейное взаимодействие имеет в нервом приближении похожий вид и часто определяется геометрией задачи. Поэтому интегрируемые уравнения, как правило, настолько универсальны, что одно и то же уравнение описывает самые разнообразные физические процессы в гидродинамике, оптике и физике конденсированного состояния.

С другой стороны, для ряда нелинейных моделей разработаны глубокие и конструктивные аналитические методы, такие как метод обратной задачи рассеяния [1] и метод "одевания", направленный, в частности, на построение многосолитонных решений посредством применения преобразования Дарбу [2].

Для применимости как первого, так и второго метода нелинейное уравнение для поля и должно быть представлено в виде условия совместности линейной системы дифференциальных

уравнений

-фх = й(и,Х)ф

для вспомогательной функции ф. Подход к интегрированию уравнения, основанный на его представлении в виде условия совместности системы (1), был предложен П.Лаксом в 1968 г., а систему (1) называют U-V парой Лакса, ассоциированной с соответствующим уравнением. Для уравнений теоретической физики, ассоциирован-

з РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ/

БИБЛИОТЕКА I

ных с некоторой парой Лакса, можно соответствующими методами решать начальную задачу Коши и находить обширный класс явных решений.

Таким образом, одной из важных и актуальных задач физики нелинейных явлений и теоретической физики является нахождение новых интегрируемых моделей, ассоциированных с ними пар Лакса и преобразований Дарбу - Беклунда.

К настоящему времени известен ряд методов, позволяющих как находить новые интегрируемые уравнения математической физики, так и применять к уже известным метод обратной задачи рассеяния и метод "одевания". Среди них необходимо отметить следующие.

♦ Метод обобщенных симметрий позволяет строить интегрируемые модели с заданным линейным законом дисперсии. Наиболее полно этим методом были исследованы эволюционные системы — системы, в которых учитывается только первая производная по времени. Но этот подход не даёт представления Лакса для найденных интегрируемых моделей.

♦ Метод Уолквиста - Эстабрука не позволяет регулярным образом строить новые интегрируемые системы, но для заданного нелинейного уравнения сводит задачу нахождения U-V пары к вопросу о конечномерных редукциях алгебры операторов Ка-ца - Муди. Поскольку вопрос о разрешимости произвольной алгебры остается открытым, этот метод также нельзя считать универсальным, хотя он и дает ответ об интегрируемости нелинейных уравнений в ряде практически важных случаев.

♦ Метод одевания и квантовый метод обратной задачи рассеяния позволил получить большое число интегрируемых систем.

♦ С помощью теста Пенлеве часто удается проверить на интегрируемость имеющееся нелинейное уравнение, построить пару Лакса или найти широкие классы решений для уравнений, близких к интегрируемым. Основная идея заключается в разложении общего решения нелинейного уравнения в ряд Лорана по множеству особенностей. Если уравнение интегрируемо,

в сумме можно оставить только конечное число членов. Возникающая при этом система уравнений на функцию, определяющую многообразие особенностей, и является, по сути, парой Лакса. Однако этот метод требует большого искусства, поскольку успешность его применения зависит от формы записи уравнения, а порядок матриц U и V, даже если они существуют, заранее неизвестен. Например, в общем случае неясно, как линеаризовать систему уравнений на многообразие особенностей.

Кроме того, существуют трудности в применении перечисленных методов, за исключением последнего, к многомерным (размерности 2+1 и 3+1) уравнениям.

Указанные выше недостатки существующих методов обуславливают необходимость в новых алгоритмах для построения интегрируемых нелинейных уравнений теоретической физики и ассоциированных с ними пар Лакса.

Другая актуальная задача, решаемая в диссертации, связана с построением решений, описывающих распределения намагниченности в ферромагнетиках. Экспериментально наблюдающиеся квазистационарные структуры типа наборов кольцевых доменов в двумерных ферромагнетиках |3] — "мишеней" — не были ранее описаны теоретически [4[. Пониманиюпричин устойчивости таких структур препятствует отсутствие возможности измерения колебаний параметра анизотропии на расстояниях порядка ширины доменной стенки. В то же время было известно, что для образования таких структур используется в том числе точечное механическое воздействие на двумерный ферромагнетик. В результате, выделенная таким образом точка становится центром "мишени". Задача состояла в определении условий на локальные параметры магнетика, при которых двумерная структура типа "мишени" может стационарно существовать.

Цели диссертационной работы состояли в следующем:

1. развить методы регулярного построения интегрируемых моделей и ассоциированных с ними пар Лакса;

2. найти ранее неизвестные нелинейные интегрируемые системы;

3. изучить решения нелинейной системы, близкой к интегрируемой, которая описывает новые типы нелинейных структур в ферромагнетиках.

Направление и методы исследований. Исходным пунктом для построения новых интегрируемых уравнений и систем теоретической физики в диссертации являются уже известные нелинейные интегрируемые модели, для которых известна ассоциированная с ними пара Лакса. Построение пар Лакса для получаемых в диссертации систем основано на использовании дискретных симметрий исходной интегрируемой системы. Предложенная в диссертации (главы 2-3) процедура размножения интегрируемых уравнений использует метод одевающих цепочек, предложенный в работах [5,6|. ' Наличие дискретной симметрии у исходного уравнения и ассоциированной с ним пары Лакса позволило построить дифференциальные связи между решениями модифицированных систем -нелинейных уравнений, построенных путем исключения полей исходного уравнения из пары Лакса (1). Построенные таким образом преобразования Беклунда приводят после определенной замены к парам Лакса, ассоциированным с полученными в работе моделями- Так как удалось получить пары Лакса для модифицированных систем, стало возможным повторить процедуру уже для модифи-цированых уравнений.

Для построения решений одевающей цепочки уравнения sin-Гордон было использовано ее замыкание, приводящее к дискретному спектру (для соответствующей спектральной задачи) в виде геометрической прогресси. Впервые такое замыкание было использовано для уравнения Кортевега-де Фриза в работе [7].

Поскольку в той или иной степени интегрируемые нелинейные уравнения являются приближениями реальных физических процессов, для получения решений, соответствующих эксперименту, приходится использовать численные методы. В четвертой главе диссертации для получения решений типа "мишеней" и оценки величины колебаний параметра анизотропии вблизи центра мишени уравнение Ландау - Лифшица сведено (с учетом геометрии задачи) к уравнению математического маятника с действующей на него переменной силой. Соответственно задача нахождения решений с

конечной энергией сводится к поиску сепаратрисных решений на фазовой плоскости.

При анализе возможных неоднородностей одноосной анизотропии принимались во внимание результаты, полученные ранее для плоской доменной стенки. А именно, что небольшая область с более высоким значением параметра анизотропии способна удерживать доменную стенку [8].

На защиту выносятся

1. метод "размножения" нелинейных интегрируемых уравнений,

2. новые интегрируемые модели: "дважды модифицированные" уравнение sin-Гордон и система Додда - Буллафа,

3. новые типы решений в модели Ландау - Лифшица — статические "мишени" из кольцевых доменов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается их совпадением с ранее известными, когда они имеются. В частности, для уравнения Кортевега - де Фриза процедура размножения интегрируемых уравнений приводит к модифицированному уравнению Кортевега - де Фриза. Повторное применение процедуры приводит к экспоненциальному уравнению Калоджеро - Дегас-периса, а следующее — к эллиптическому уравнению Калоджеро. В этом и других примерах для реализации громоздких аналитических вычислений были использованы программы компьютерной алгебры, результаты работы которых контролировались известными примерами интегрируемых систем и их решений.

Достоверность численных расчетов подтверждается аналитическими результатами, полученными в работе для тех же решений. В частности, при построении решений, описывающих распределения намагниченности, использовался метод анализа на фазовой плоскости соответствующей механической задачи (математического маятника) .

Научная новизна диссертации определяется следующим.

1. Впервые предложена процедура построения не только серий интегрируемых моделей, но и ассоциированных с ними пар Лакса.

2. Найдены новые нелинейные интегрируемые системы и связанные с ними преобразования Беклунда.

3. Для модифицированной. модели sin-Гордон найден новый тип 2я--кинка, представляющий связанное состояние из двух 7т-кин-ков.

4. Для дискретной цепочки, связанной с моделью sin-Гордон, найдены новые решения, которые отвечают бесконечному дискретному спектру в терминах метода обратной задачи рассеяния.

5. Численными и аналитическими методами исследованы существенно нелинейные структуры типа магнитных вихрей и "мишеней" из кольцевых доменов в легкоосных ферромагнетиках.

Практическая значимость работы. Предложенным в диссертации методом найдены новые интегрируемые модели. В отличие от других методов, предложенная процедура дает также представление Лакса для получаемых уравнений. Это открывает перспективу применения. метода обратной задачи рассеяния для новых нелинейных уравнений. Метод "размножения" нелинейных интегрируемых уравнений теоретической физики применим для построения новых многомерных моделей. Поскольку интегрируемые уравнения, как правило, универсальны, они могут найти практическое применение при анализе нелинейных явлений и процессов в разных областях физики конденсированного состояния.

Отличительная черта моделей, построенных впервые — наличие неполиномиальных нелинейных членов, которые содержат производные полей модели. Такие интегрируемые уравнения ранее не поддавались классификации. Модели, полученные впервые, могут быть использованы для более адекватного описания явлений с более сильными нелинейными взаимодействиями. Кроме того, решения впервые построенных интегрируемых моделей связаны с решениями исходных и могут быть использованы для построения новых решений уже известных интегрируемых систем.

Решения для дважды модифицированного уравнения sin-Гордон имеют вид качественно совпадающий с видом решений — двух кинков - для двойного уравнения sin-Гордон. Отличие заключает -

ся в отсутствии излучения волновых пакетов при движении кин-ков, поскольку новая модель (дважды модифицированное уравнение sin-Гордон) является интегрируемой. Для модели sin-Гордон, которая ранее использовалась в качестве нулевого приближения, таких решений нет.

Результаты работы (глава 4) могут быть использованы также при исследовании условий возникновения структур типа "мишеней" в ферромагнетиках. Такие двумерные структуры привлекают внимание благодаря высокой плотности доменных стенок в центре, и, как следствие, перспективности их применения в устройствах хранения информации.

Реализация результатов. Предложенная в диссертации процедура размножения интегрируемых нелинейных уравнений применима также к уравнениям размерности 2+1. Это было продемонстрировано в работе [9] на примере уравнения Кадомцева - Петвиа-швилли. Кроме того, найденное в работе [1*J "дважды модифицированное" sin-Гордон уравнение послужило импульсом к классификации уравнений вида uxt = F(u,uTlut,x,t), обладающих интегралами [10,11].

Вследствие вышесказанного процедура размножения интегрируемых нелинейных уравнений используется в спецкурсе "нелинейные явления", читаемом на Кафедре теоретической физики и прикладной математики УГТУ (УПИ).

Апробация работы. Основные результаты, составляющие содержание диссертационной работы, изложены в публикациях [1* - 5*|.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены диссертантом в виде докладов на следующих международных конференциях и симпозиумах: Международном семинаре "Дни дифракции" (С.Петербург, 1997), Зимних школах физиков-теоретиков "Ко-уровка" (Кыштым - 2000, Кунгур - 2002), Второй международной конференции "Нелинейные модели в математической физике" (Челябинск, 1998), Международной конференции "Nonlinear science festival" (Copenhagen, 1998), Тринадцатом симпозиуме по нелинейным явлениям "Nonlinear Evolutional Equations and Dynamical Systems" (Creet, 1999), Первом евро - азиатском симпозиуме "Прогресс в магнетизме" (Екатеринбург, 2001), Пятой конференции но

симметриям и интегрируемости разностных уравнений "SГОE-V' (Giens, 2002) и других.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, изложена на 103-х страницах и проиллюстрирована 11-ю рисунками. Список цитируемой литературы содержит 135 наименований. Первая глава диссертации носит обзорный характер. Во второй главе предложена новая схема "размножения интегрируемых уравнений". В третьей главе диссертации процедура "размножения" обобщается на двухкомпонентные нелинейные системы. В четвертой главе диссертации анализируются модели близкие к интегрируемым.

…

Заключение

Таким образом, по диссертационной работе можно сделать следующие выводы.

1. Предложен новый метод построения серий нелинейных интегрируемых моделей, связанных операторами аналогичными преобразованию Миуры. Процедура позволяет по одному известному интегрируемому уравнению строить последовательность новых. Для нелинейных моделей последовательности характерна одинаковая линейная дисперсия и различное нелинейное взаимодействие. Преимущество нового метода перед известными ранее методами заключается в том, что он дает представление Лакса для получаемых моделей. Алгоритм апробирован на универсальных нелинейных моделях: уравнении Кортевега -де Фриза, уравнении sin-Гордон, системе Каупа - Буссинеска, системе Додда - Буллафа и уравнении Цицейки.

В процессе построения U-V пар регулярным образом получаются также „одевающие цепочки", которые связывают различные волновые функции в ассоциированной спектральной задаче. Замыкание цепочек позволяет исследовать новые классы

решений, как исходных, так и вновь полученных интегрируемых моделей.

2. Найдены новые интегрируемые модели: „дважды модифицированное" уравнение sin-Гордон и дважды модифицированная система Додда - Буллафа. Системы такого типа не поддавались классификации известными ранее методами, поскольку включают в себя нелинейные члены, неполиномиального вида, содержащие градиенты. Для этих моделей исследованы новые типы солитонов - 2тг кинки с „полочкой" (два связанных п-кинка).

3. Аналитическими и численными методами построены статические структуры типа „мишеней" из кольцевых доменов в одноосных двумерных ферромагнетиках. Показано, что для существования "мишеней" достаточно существования дефекта в ее центре - резкого скачка величины параметра анизотропии. Найдена зависимость размеров "мишеней" от величины этого скачка.

Список публикаций

[1*] А.Б. Борисов, С.А. Зыков. Одевающие цепочки дискретных симметрии и размножение нелинейных уравнений// TМФ, 1998, T. 116, С. 199-214.

[2*} А. Б. Борисов, С.А. Зыков. Безотражательные потенциалы с бесконечным дискретным спектром для уравнения sin-Гордон// TМФ,"1999, T. 118, No.3, С. 337-346.

[3*] А.В. Borisov, M.V. Pavlov, S.A. Zykov. Proliferation scheme for Каир - Boussinesq equation// Physica D, 2001, V. 151-152 (A Special Issue to Honor Vladimir Zakharov), P. 104-109.

[4*] А.Б. Борисов, С.А. Зыков, Н.А. Микушина, А.С. Москвин. Вихри и магнитные структуры типа "мишени" в двумерном ферромагнетике с анизотропным обменным взаимодействием// ФУГ, 2002, T. 44, Вып.2, С. 312-320.

[5*] А.Б. Борисов, С.А. Зыков, М.В. Павлов. Уравнение Цицей-ки и размножение нелинейных интегрируемых уравнений// TМФ, 2002, T. 131, No.l, С. 126-134.

Список цитированной литературы

[1] В.Е. Захаров, СВ. Манаков, СП. Новиков, Л.П. Питаевский. Теория солитонов: метод обратной задачи.- М.: Наука, 1980, 360с.

[2] V.B. Matveev, M.A Salle. Darboux Transformation and Solitons. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag. 1991, 215p.

[3] Ф.В. Лисовский, Е.Г. Мансветова, Е.П. Николаева, А.В.Николаев. Динамическая самоорганизация и симметрия распределений магнитного момента в тонких пленках// ЖЭТФ, 1993, Т. 103, вып.1, С.213-233.

[4] A.M. Косевич, Б.А. Иванов, А.С. Ковалев. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Наукова Думка, Киев. 1983, 450с.

[5] А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов. Симметрии нелинейных цепочек// Алгебра и анализ, 1990, Т. 2, Вып.2, С. 183-208.

[6] А.П. Веселое, А.Б. Шабат. Одевающие цепочки и спектральная теория оператора Шрёдингера// Функц. анализ и его приложения, 1993, Т. 27, Вып.2, С. 1-21.

[7] А. Дегасперис, А.Б. Шабат. Построение безотражательных потенциалов с бесконечным дискретным спектром// ТМФ, 1994, Т.100, No.2, C230-247.

[8] J.K. Janak. Quantum theory of domain - wall motion// Phys. Rev. 1964, V. 134, No. 2A, P. 411-422.

[9] A.B. Юров. Сопряженные цепочки дискретных симметрии (1+2) нелинейных уравнений// ТМФ, 1999, Т. 119, No.3, С 419428.

[10] А.В. Жибер, В.В. Соколов. Новый пример гиперболического нелинейного уравнения, обладающего интегралами// ТМФ, 1999, Т. 120, N1, С. 20-26.

[11] А.В. Жибер, В.В. Соколов. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа// УМН, 2001, Т. 56, Вып. 1, С. 63-106.